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π 是所有数字中最大的超级明星。它在某种程度上体现了“圆”的概念，对于我们凡人来说是遥不可及的，因为总会有无数的数字隐藏在我们面前，并且不遵循任何规则的模式。
众所周知，π 的定义是任何圆的周长与其直径的比值。因此，当 π 出现时，很自然地预期圆会隐藏在方程中的某个位置。尽管与几何有这种联系，π 似乎在数学中无处不在，有时甚至出现在距离其原始起源很远的地方。
在这篇文章中，我们将研究 5 个非常著名且美丽的 π 公式，并展示它们为什么是正确的。我们将使用证明大纲来展示它们，这意味着如果读者想要非常精确，可以为读者留下一些细节。这些草图旨在说服您并帮助您理解为什么这些公式是正确的。
π 的莱布尼兹公式
π 的莱布尼茨公式以戈特弗里德·莱布尼茨 (Gottfried Leibniz) 的名字命名，指出：
这是令人惊讶的结果之一，其中“圆”在哪里并不明显。尽管这个级数是以莱布尼茨（Leibniz）的名字命名的，莱布尼茨无论如何都是一位杰出的数学家和科学家，但该级数实际上是由比莱布尼茨早数百年的印度数学家桑伽玛格拉玛（Sangamagrama）马达瓦（Madhava）发现的。
证明草图
有大量证据证明这一事实。例如，可以证明 arctan(z) 的泰勒级数是以下幂级数：
当 -1 ≤ z ≤ 1 时收敛。如果我们代入 z = 1，我们就得到结果。
所以这个圆实际上隐藏在余弦的正弦角处，因为我们最终要问的是我们需要什么角度 -π/2 ≤ θ ≤ π/2 才能使 sin(θ) = cos(θ )，答案当然是 π/4（以弧度表示）。
沃利斯的作品
约翰·沃利斯 (John Wallis) 于 1656 年出版了沃利斯 (Wallis) 的 π 著作，其中指出 π 可以用以下无限乘积来表示。
证明草图
让我们回忆一下欧拉正弦函数的乘积公式。
设 x = π/2，则有
这个事实还有很多其他的证明，沃利斯本人也用另一种方式证明了这一点，即使用数学分析。有时这个结果写得更简短
巴塞尔问题
这是所有数学中最著名的问题之一。它不仅本身美丽，而且还有一段著名的历史。
它由 Pietro Mengoli 于 1650 年首次提出，并最终由杰出的数学家 Leonhard Euler 于 1734 年解决。由于当时最好的数学家试图解决这个问题但没有成功，欧拉因证明它而闻名。
事实上，正是这个问题使莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）因使用涉及正弦函数的巧妙方法解决了该问题而闻名。
巴塞尔问题指出：
令人惊讶的是，π 出现在这个方程的右侧，尽管左侧所有自然数的平方反比看起来都远离任何圆形！
这种情况下的圆可以通过圆上的平衡点和逆毕达哥拉斯定理找到，但那是另一回事了。
证明草图
以下证明来自欧拉本人。
回想一下，正弦函数的泰勒级数展开是一个无穷级数
正弦函数也可以写成无限乘积，这种乘积需要一些论证，这是后来出现的，但欧拉确信它是正确的，所以继续写
当然，作为欧拉，他认识到因子中的平方反比，并想将它们分离出来。没问题，他将乘积相乘，得到
他现在认为这种幂级数表示应该与泰勒级数展开完全相同，因此系数也应该相同。
特别是，x3 项的系数必须相等。写出这个等式，我们得到
两边同时乘以 π2，就得到结果。
布冯的针
布冯针的问题是布冯伯爵乔治·路易斯·勒克莱尔 (Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon) 在 18 世纪首次提出的问题。内容如下。
假设我们有一根针和一个平坦的表面，上面有平行的条纹，每个条纹的宽度都与针相同。如果我们将一根针放在表面上，那么针穿过两条条纹之间的线的概率是多少？
显然，针可以指向各个方向并落在任何地方。下图中有两种情况，其中蓝色圆圈表示所有可能的针方向形成一个圆圈。
显然，布冯的针问题是几何概率中最早被解决的问题。
证明草图
为简单起见且不失一般性，我们选择针长度为1。测量单位并不重要。
假设我们将平面放置在笛卡尔坐标系中，并将其中一条垂直线放置在 y 轴上。那么我们用 x 表示针中心沿 x 轴的位置，用 θ 表示交叉的极限角度，即，如果针与 x 轴的夹角在 x 轴的 ±θ 范围内，那么针将与垂直线相交。
这个图片看起来像这样：
如果针落在上图中的灰色区域，它将穿过垂直线。想了想，我们实际上只需要一个参数，因为 θ 和 x 是因变量。特别是，我们从三角学中回忆起 cos(θ) = x。
由于我们希望将灰色区域写为 x 的函数，因此我们更愿意将 θ 也写为 x 的函数。我们有 θ(x) = arccos(x)。
现在我们可以求出针穿过左侧垂直线的概率，给定固定中心 x，即 p(x) = 2θ(x)/π。这是因为指针始终位于左半圆对应的 x 轴 180 度范围内，因此所有可能结果的空间为 π 弧度，而期望结果（直线交点）的空间为 2θ 弧度，对应于灰色地带。
但我们需要随机抛出针穿过任何线的概率。为此，我们只需将一条线到另一条线的所有无限多个可能中心对应的概率“相加”即可。
这可以通过积分来表达
因此，随机抛出时，针穿过线的概率恰好是 2/π ≈ 0.6366，约为 64%。
这个公式的有趣之处在于，它允许我们通过简单地扔针或棍子来计算 π。我们可以通过实验和一些概率知识在沙漠中做到这一点。奇妙！
1901年，意大利数学家马里奥·拉扎里尼用布冯的针进行了实验。通过扔针 3408 次（那天他一定很无聊），他得到了著名的 π 的 355/113 近似值，精确到小数点后六位。
高斯积分
该积分以伟大的德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名。积分如下：
有多少有创造力的数学家，就有多少种证明这一点的方法。这个问题已经成为数学界的标准挑战。我们仍然需要一点创意，因为被积函数在已知函数方面没有标准的反导数。
积分可以被认为是下图中钟形图下方的面积。
我们可以使用代入法、拉普拉斯法、伽马函数或“积分符号下的微分”（通常称为费曼技术）来解决它。
这些都是很好的解决方案，但我仍然认为使用极坐标的解决方案更清晰，因为它解释了 π 的存在。
极地整合
在证明这一事实之前，请回想一下，当我们有二重积分（即两个变量的函数的积分）时，计算曲面下的体积而不是曲线下的面积，我们可以继续进行极积分通过将坐标系更改为极坐标。
平面上的点可以通过其到原点的距离以及与第一轴的角度来唯一地描述。所以我们可以从笛卡尔坐标中的 (x, y) 到极坐标中的 (r, θ)。特别地，我们有以下关系
x = r cos θ
y = r sin θ
从上面两个关系我们立即得到毕达哥拉斯关系
r2 = x2 + y2
当我们在极坐标中对表面进行积分时，我们将平面划分为称为极坐标矩形的小无限小区域，并对它们求和，并按函数值加权。
当放大像上图这样的极坐标矩形时，我们使用了一些几何事实。我们可以假设 r_0 ≈ r_1 并且计算边长非常简单。当然，半径为 r 的完整圆的周长为 C = 2πr，因此边长就是 C?Δθ/2π ≈ rΔθ。这个极坐标矩形的面积为ΔA ≈ rΔθΔr。
证明草图
让我们从写积分开始，因为这是一个数字（我们知道它收敛），所以我们可以简单地将其称为 I。完成此操作后，我们有
现在我们对两边求平方并使用积分的分布定律（即乘以一个常数）。
现在我们的任务是找到上面二维被积函数图下的体积。请注意，它在所有方向上都是旋转对称的。
回想一下，我们可以用极坐标来写它，并且由于 r2 = x2 + y2，我们有 r 从 0 到 ∞ 变化，θ 从 0 到 2π 弧度变化，所以
现在请注意，“反向”链接规则适用，因为 d/dr(-r2) = -2r。所以我们得到
最后我们得到结果 I2 = π，或者正如我们在本节开头所说的那样，
在这种情况下，π 来自二维高斯函数的旋转对称性，它是平行于 xy 平面的每个级别上的圆。
