基于一般层面的数学学习(解题)错误的分类与归因研究概述

基于一般层面的数学学习（解题）错误的分类与归因研究概述

“在数学解题中，学生表现的错误是多种多样的，为了有效地利用这些错误，从中吸取教训，以便达到纠正错误的目的，必须对各种错误进行分析与归类。但由于产生错误的原因的复杂性和错误的表现形式的多样性，因此按不同的标准，可以对错误作出不同的分类”（戴再平，1996）。比如，按个体发生解题错误的频发程度，可以把解题错误分为一贯性错误和偶然性错误；按群体发生解题错误的范围大小，可以把解题错误分为普遍性错误与个别性错误（戴再平，1996）。偶然性错误是由偶然因素造成的，是不稳定的，而有些错误是由错误的认识造成的，这种错误应该是持续而稳定的（Grossnickle&Snyder,1939)。

韩华球（2005)认为按照错误性质的不同，可以把学生所犯的错误分为合理性错误与非合理性错误两种类型。合理性错误是指，虽然学生回答的结果不完全正确，但是在这一结果的获得过程中却包含合理性因素，通过对这些合理性因素的挖掘，可以产生非常有价值的教学效果”（韩华球2005)，非合理性错误是指，不仅学生回答的结果是不正确的，而且这一结果的获得过程也很少具有教学意义”（韩华球2005)，。从错误的形成原因来看，可分为主观性错误与非主观性错误。主观性错误是指由于学生自身的原因而发生的错误。而主观性错误又可进一步细分为思维错误与非思维错误：思维错误，是由于学生自身在思维过程中违背思维规律或规则而发生的错误；非思维错误，是由思维以外的其他主观原因引起的错误，包括由于生理的、心理的、感知的等主观原因导致的各种错误。非主观性错误是指由主观以外的客体、环境等外在的原因引起的错误。它具有外在的强制性、干扰性等特点”（韩华球，2005)。

另一方面，我们应该认识到学生数学学习错误，包括解题错误的异常复杂性。同一个问题的错误可能源自不同的原因，同一个原因也可能导致不同的解题错误，不同的解题过程也可能呈现出相同性质的解题错误，等等。有时候要把解题错误和其错误原因截然分幵也是十分困难与复杂的，按照一定标准对学生数学解题错误的分类等也未必能穷尽所有的错误类型。

向正凡（2006)基于G.波利亚《怎样解题》中的“解题表”，把数学解题错误分为四类：曲解题意的错误、拟定方案的错误、执行方案的错误、回顾与反思的错误，并认为在教学中存在导致学生产生错误的三大主要因素：数学教育思想跟不上时代的要求、数学教学方式的因素和学生学习方式的因素。并认为提高学生的数学解题能力应从以下几个方面入手：预防数学解题错误，主要包括树立正确的解题观、在教学过程中预防、排除千扰和负面影响、创设纠错情境；改正错误是一个“自我否定”的过程；对不同类型的错误区别对待，主要包括对习惯性错误采取公幵善意点名的处理方式、对知识性错误要采取严格要求的处理方式、对思维缺陷的错误要个别精心辅导，并强化训练、对心理障碍要采取面对面谈心式的处理方式、对创造性解题中的错误要充分肯定与鼓励；培养数学思维的批判性；通过预防错误来提高数学解题能力，主要包括学生分小组合作学习、养成解题回顾的好习惯、整理一本错误集。

陶君（2008)认为，高中生常见的数学解题错误的主要类型有：基础不扎实、思维不严密、方法不得当和解题不规范，并主要从教师与学生本身这两方面较为深入地分析了导致这些错误的主要原因。同时，结合高中数学教学实际，提出了纠正高中生数学学习中解题错误的六条具体教学对策：树立正确的“错误观”、纠错时要进行错误分析、注意纠错的具体方法与途径、注意强调解题后进行反思、注重培养学生养成良好的解题习惯、教学生学会整理错题集。

允芳芳（2011)通过整理初一年级学生课堂作业以及测试卷，发现小学生刚进入初中之后普遍出现以下类错误（普遍性错误）：概念错误、生活常用概念缺乏导致的错误、符号运算错误、分数化简错误，以及常用数学概念错误，并根据学生不同的错误类型进行了一定的干预研究。“普遍性的错误是在学生的试卷、作业等纸质文件中发现并归类的”，而通过具体干预过程，“看到了更具动态性的错误反应，引起了聚焦心理活动的进一步分类（允芳芳，2011):知识维度增加时适应困难、不明白蕴含的运算要求、数字运算到符号运算困难，以及解题程序意识欠缺，并据此进行了心理支架式干预。

李玉宏（2009)认为，中学生常见的数学错误主要有：负迁移、逻辑性错误、概念性错误、策略性错误等并探讨了避免出现数学错误的一些教学原则及方法：培养学生的元认知能力，主要包括让学生对数学错误有一个正确态度、让学生自己纠正问题、让学生用新的方法来解决问题；加强数学思想方法教学，主要包括应该向学生介绍公理化方法、注重对数学思想方法的教学；通过课堂纠正学生的数学错误，主要包括在教学的过程中处理好教学的重点和难点，讲清知识的来龙去脉、上纠错课，让学生自己分析自己和别人的错误、对不同类型的数学错误，在相应的教学地方进行有效的预防、教师要能由学生的思考模式着手，多了解学生的逻辑观念。

吴茜(2011)认为，导致高中生数学解题失败现象的原因主要有：已有知识不充足、概念理解不透彻、公式掌握不到位、解题反思不到位、最初审题不细致、不善归纳与整理、数学学习习惯方面、数学解题心理方面。并通过对以上具体成因的分析，寻找错误的根源，据此提出了以下教学策略：做好初高中知识的衔接，主要包括重视新旧知识的联系与区别、重视学习方法的衔接；引导学生进行反思纠错，自我诊断；教师要学会将错就错，拨乱反正；教师要学会激发学生的学习兴趣；培养学生的问题意识；培养学生正确对待困难和挫折的良好心理素质。

郝玲（2004)研究发现，初一学生数学学习中“错误”的具体表现为：概念学习中的错误。主要包括用日常生活中的概念代替数学概念、概念理解不深刻；运算错误。运算错误在大量的解题过程中都出现，学生对自己的运算错误经常简单归因为“粗心”，但事实上对运算法则的不理解、缺乏一定的计算技巧等也会导致运算错误；数学语言错误。对初一学生而言，数学语言是比较新鲜和抽象的内容，他们理解和接受数学语言存在一定的难度，数学语言错误主要表现在数学文字语言、数学符号语言和数学图形语言三个方面。同时，郝玲（认为引起初一学生数学学习错误的因素主要有：错误的观念；心理因素，主要包括粗心、数学焦虑、负迁移、消极归因；教学方面。并主要从教师和学生两个方面探讨了如何进行数学学习错误的矫正。主要包括：教师要正视学生解题的错误、培养学生良好的学习习惯、了解学生真实的思维活动、利用反例教学、培养学生的元认知能力。

杨俊林（2009)从心理学角度分析了导致中学生数学问题解决错误的原因，把其分为：感知定向错误、错误联想或联想链中断导致错误，以及认知能力缺失致误，并提出了预防因心理原因导致数学解题错误的条措施。等等。

钟志敏（2009)从认知建构的角度探讨了导致“顽固性错误”的深刻的根源，以及相应的应对策略。认为理解的缺陷和“强干扰作用”导致“顽固性错误”，并认为预防和纠正理解的缺陷导致的“顽固性错误”要注意以下几点：逐步增加和提高联系的量与质、于数学学习活动中建构和丰富学生的概念表象、学生自己的理解得由自己来建构。“强干扰作用”导致的顽固性错误，主要包括运算性直觉错误和理解性直觉错误，并认为预防和纠正这类“强干扰作用”导致的顽固性错误要注意以下几点：避免不加理解的机械练习、反例是纠正错误的最有力的手段、努力通过数学活动体验来培养正确的直觉和培养严谨的理性的数学思维习惯。

Brousseau(1984)提出在所有的教学情境中，教学契约的协商都会发生。这种教学契约少部分是明确地确定的，大部分是隐含地存在的，每一方都期待做什么或获得什么。教学契约具有三种基本成分：学生（被教者），教师（施教者），知识（教学材料）。教学契约组成了师生互动的环境，在这种互动过程中学生获得知识。（Gagatsis&Kyriakides,2000)

Gagatsis&Kyriakides(2000)的研究表明，可把学生的数学错误归结为个

主要因素：学生因素，教师因素，（数学）知识因素，教学契约（即在特定的数学课堂中，学生应该“遵从”的一些“规则”)。

Schoenfeld(1985)的研究表明：①一般容易低估表面上看起来简单的程序的复杂性，尤其当一个人掌握它很久的时候；②学生在运用简单程序上出现的许多错误可能是错误地学习的结果（也即学生可能一直在错误地运用一个程序，而不是象有人简单地所认为的“他们还没有掌握它”。甚至，有些学生可能一直都在反复使用错误的程序；③知识的表征决定了资源的部分支撑性结构，信息被个体所表征的方式（结构化的、可理解的）可以决定个体在多大程度上成功运用他们。“如果学生持续地使用某些错误方法——他很可能相信自己所使用的方法是正确的——那么再把正确方法重新说明一遍并不起什么作用，在他或她获得正确方法之前，必须诊断出学生的错误根源，并清除之”。

按照观点，合理的外推性错误（发生的主要原因有：①不适当地把已知规则用于新的情境；②不正确地变化已有规则去解决新问题。这个过程之所以称为是“合理的”，是因为常常：①作为外推基础的规则对于与规则得出的问题原型几乎同构的情形总是对的；②作为推广基本规则的外推方法在其它的情形常常是有用的，问题不在外推方法本身，而在于学生错误地相信（或错误地估计）外推法适用于手头特殊的情形。Schoenfeld(1985)

许多有关数学学习困难的研究表明：“学生常犯一些反复出现的错误、相似的错误和误解，而且不愿意放弃他们自己的想法。例如，有些学生的方法是直觉的、原始的和背景关联的，很少是正规的，几乎都在整数系统中操作，如通过数矩形内的小正方形单位的个数来计算它的面积。对学生系统错误和非形式的方法的研究，揭示了学生学习过程中思维的通道（Booth，1984)。根据皮亚杰的观点，学习包括同化和顺应。学习者需要整合新的知识到已有认知结构中去，同时修正已有的观念。学习者的惯性将成为认知障碍（Herscovics，1989)。虽然认知障碍是不可避免的，一个有效的学习环境必须帮助学生把新知识整合到已有知识中去，克服认知障碍。另外，正如托尔（Tall，1989)指出，由于课程以最简洁的逻辑表达内容也许它是真正引起认知障碍的一个原因”。（黄荣金,李业平，2010)

李俊（2003)的研究表明：在概率学习中，“有些错误概念的使用是与题目中的数据或背景有关的”。错误概念的使用与问题背景（情境）等直接相关，也应该与学生的认知特点等有关，不少学生在解决问题的过程中总是根据问题的表面特征（比如问题中使用的数据与背景，等等），而不是问题的深层结构识别与表征问题。

邵亚君（2011)针对初中生在数学学习中出现的错误，分析其产生的语言因素，指出数学语言问题是导致学生产生数学错误的原因之一，并强调教师进行数学语言教学的重要性。

以上研究者基于一般层面的解题错误分类与归因研究，对于本研究进行高一学生的数学解题错误的分类与归因，及其矫正等具有直接的指导作用与借鉴意义，有利于本研究开阔研究视野，奠定研究基础，确定研究方法和研究工具，等等。